Sean fn(x) y gn(x) definidas en (0,1) de la siguiente forma :

fn(x) = n si x está en (0,1/n), fn(x) = 0 si x está en (1/n1,1)

gn(x) = 2 + 1/n si x está en (0,1/n), gn(x) = 0 si x está en (1/n,1).

Comprobar su convergencia puntual y su convergencia uniforme.

Saludos,

"Luis" <wiles34***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:ji2hrf$fge$1***dont-email.me...
> Sean fn(x) y gn(x) definidas en (0,1) de la siguiente forma :
>
> fn(x) = n si x está en (0,1/n), fn(x) = 0 si x está en (1/n1,1)
>
> gn(x) = 2 + 1/n si x está en (0,1/n), gn(x) = 0 si x está en
> (1/n,1).
>
> Comprobar su convergencia puntual y su convergencia uniforme.
>
> Saludos,
>

Solo queda un número finito de términos en las sumas.
Por eso son convergentes.

Las funciones son

sf(x) = Sum(n=1^inf fn(x)) = m(m+1)/2 , con m = Ceiling(1/x)-1
sg(x) = Sum(n=1^inf gn(x)) = 2(m+1) + H(m) , con m = Ceiling(1/x)-1
y H(n) el número armónico

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:9qka1rFinmU1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <wiles34***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:ji2hrf$fge$1***dont-email.me...
>> Sean fn(x) y gn(x) definidas en (0,1) de la siguiente forma :
>>
>> fn(x) = n si x está en (0,1/n), fn(x) = 0 si x está en (1/n1,1)
>>
>> gn(x) = 2 + 1/n si x está en (0,1/n), gn(x) = 0 si x está en (1/n,1).
>>
>> Comprobar su convergencia puntual y su convergencia uniforme.
>>
>> Saludos,
>>
>
> Solo queda un número finito de términos en las sumas.
> Por eso son convergentes.
>
> Las funciones son
>
> sf(x) = Sum(n=1^inf fn(x)) = m(m+1)/2 , con m = Ceiling(1/x)-1
> sg(x) = Sum(n=1^inf gn(x)) = 2(m+1) + H(m) , con m = Ceiling(1/x)-1 y
> H(n) el número armónico
>
> Saludos,
> Wolfgang

Son sucesiones de funciones, Wolfgang. No series de funciones. Tal vez te
confundió la notación.

Ambas sucesiones de funciones tienen límite 0, trivialmente. Basta aplicar
la definición de límite de una sucesión.

Con respecto a la convergencia uniforme, ninguna de las dos es uniformemente
convergente. Podemos suponer que lo son y aplicar la definición de la
convergencia
uniforme, para llegar a una contradicción. Pero como no te gustan los
"epsilones" razonaré
de otra forma.

Para fn(x), tenemos una sucesión de funciones integrables en un intervalo
acotado luego,
si la sucesión fuese uniformemente convergente, podríamos intercambiar el
límite y la integral.

Pero, Int(x=0^1 lim fn(x) ) = Int(x=0^1 f(x) ) = 0 y lim Int(x=0^1
fn(x) ) = 1

Luego fn(x) no es una sucesión uniformemente convergente.

Análogamente para gn(x).

Saludos,

"Luis" <wiles34***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:ji44r6$4b0$1***dont-email.me...
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
> news:9qka1rFinmU1***mid.uni-berlin.de...
>>
>> "Luis" <wiles34***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:ji2hrf$fge$1***dont-email.me...
>>> Sean fn(x) y gn(x) definidas en (0,1) de la siguiente forma :
>>>
>>> fn(x) = n si x está en (0,1/n), fn(x) = 0 si x está en (1/n1,1)
>>>
>>> gn(x) = 2 + 1/n si x está en (0,1/n), gn(x) = 0 si x está en
>>> (1/n,1).
>>>
>>> Comprobar su convergencia puntual y su convergencia uniforme.
>>>
>>> Saludos,
>>>
>>
>> Solo queda un número finito de términos en las sumas.
>> Por eso son convergentes.
>>
>> Las funciones son
>>
>> sf(x) = Sum(n=1^inf fn(x)) = m(m+1)/2 , con m =
>> Ceiling(1/x)-1
>> sg(x) = Sum(n=1^inf gn(x)) = 2(m+1) + H(m) , con m =
>> Ceiling(1/x)-1 y H(n) el número armónico
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
>
> Son sucesiones de funciones, Wolfgang. No series de funciones. Tal
> vez te
> confundió la notación.
>
> Ambas sucesiones de funciones tienen límite 0, trivialmente. Basta
> aplicar
> la definición de límite de una sucesión.
>
> Con respecto a la convergencia uniforme, ninguna de las dos es
> uniformemente
> convergente. Podemos suponer que lo son y aplicar la definición de la
> convergencia
> uniforme, para llegar a una contradicción. Pero como no te gustan los
> "epsilones" razonaré
> de otra forma.
>
> Para fn(x), tenemos una sucesión de funciones integrables en un
> intervalo acotado luego,
> si la sucesión fuese uniformemente convergente, podríamos
> intercambiar el límite y la integral.
>
> Pero, Int(x=0^1 lim fn(x) ) = Int(x=0^1 f(x) ) = 0 y lim
> Int(x=0^1 fn(x) ) = 1
>
> Luego fn(x) no es una sucesión uniformemente convergente.
>
> Análogamente para gn(x).
>
> Saludos,
Vale, pero en mi comprensión el problema también tiene su enconto, ¿no?

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:9qmpk3F75uU1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <wiles34***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:ji44r6$4b0$1***dont-email.me...
>>
>> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
>> news:9qka1rFinmU1***mid.uni-berlin.de...
>>>
>>> "Luis" <wiles34***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>> news:ji2hrf$fge$1***dont-email.me...
>>>> Sean fn(x) y gn(x) definidas en (0,1) de la siguiente forma :
>>>>
>>>> fn(x) = n si x está en (0,1/n), fn(x) = 0 si x está en (1/n1,1)
>>>>
>>>> gn(x) = 2 + 1/n si x está en (0,1/n), gn(x) = 0 si x está en
>>>> (1/n,1).
>>>>
>>>> Comprobar su convergencia puntual y su convergencia uniforme.
>>>>
>>>> Saludos,
>>>>
>>>
>>> Solo queda un número finito de términos en las sumas.
>>> Por eso son convergentes.
>>>
>>> Las funciones son
>>>
>>> sf(x) = Sum(n=1^inf fn(x)) = m(m+1)/2 , con m = Ceiling(1/x)-1
>>> sg(x) = Sum(n=1^inf gn(x)) = 2(m+1) + H(m) , con m = Ceiling(1/x)-1 y
>>> H(n) el número armónico
>>>
>>> Saludos,
>>> Wolfgang
>>
>> Son sucesiones de funciones, Wolfgang. No series de funciones. Tal vez te
>> confundió la notación.
>>
>> Ambas sucesiones de funciones tienen límite 0, trivialmente. Basta
>> aplicar
>> la definición de límite de una sucesión.
>>
>> Con respecto a la convergencia uniforme, ninguna de las dos es
>> uniformemente
>> convergente. Podemos suponer que lo son y aplicar la definición de la
>> convergencia
>> uniforme, para llegar a una contradicción. Pero como no te gustan los
>> "epsilones" razonaré
>> de otra forma.
>>
>> Para fn(x), tenemos una sucesión de funciones integrables en un intervalo
>> acotado luego,
>> si la sucesión fuese uniformemente convergente, podríamos intercambiar el
>> límite y la integral.
>>
>> Pero, Int(x=0^1 lim fn(x) ) = Int(x=0^1 f(x) ) = 0 y lim Int(x=0^1
>> fn(x) ) = 1
>>
>> Luego fn(x) no es una sucesión uniformemente convergente.
>>
>> Análogamente para gn(x).
>>
>> Saludos,
> Vale, pero en mi comprensión el problema también tiene su enconto, ¿no?
>
> Saludos,
> Wolfgang

Lo tiene, ciertamente.

Saludos,